Leseprobe: Ableitung, Tangente und Differenzierbarkeit

Dieses Unterkapitel befasst sich mit der Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten, mit ihren Schreibweisen und mit der Differenzierbarkeit an einer Stelle. Es präzisiert die Idee aus 4.1 und legt die Grundlage für die Ableitungsregeln in 4.3. Im Kurs ist die Ableitung das Werkzeug, das lokale Näherungen, Monotonie, Krümmung und Optimierung ermöglicht.

Definition

Ableitung:: Der Grenzwert des Differenzenquotienten an einer Stelle.
Differenzierbarkeit:: Dieser Grenzwert existiert und ist von links wie von rechts derselbe.
Ableitungsfunktion:: Ordnet jeder Stelle ihre lokale Rate zu.

Regeln

Ableitung und Tangente

Ableitung in

x_0

f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

Wenn keine Regel greift und die Steigung direkt gebraucht wird.

Tangente in

x_0

y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)

Wenn eine Gerade gesucht ist, die den Graphen in $x_0$ berührt.

Definition

Schreibweisen der Ableitung

Lagrange

$f'(x)$ , $f''(x)$ , $f^{(n)}(x)$ , der Strich zählt die Ableitungen.

Leibniz

$\dfrac{df}{dx}$ oder $\dfrac{dy}{dx}$ , erinnert an $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ .

Newton

$\dot y=\dfrac{dy}{dt}$ , Ableitung nach der Zeit $t$ .

Aus $y=mx+b$ liest man umgekehrt $f'(x_0)=m$ ab, die Normale hat bei $m\ne0$ die Steigung $-\tfrac{1}{m}$ .

Regel

Differenzierbar impliziert stetig

f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\cdot\Delta x\;\longrightarrow\;f'(x_0)\cdot0=0

Existiert $f'(x_0)$ , strebt die Funktionsdifferenz für $\Delta x\to0$ gegen null, also ist $f$ in $x_0$ stetig. Stetigkeit ist notwendig, aber nicht hinreichend.

Gefahr

Stetig ist nicht differenzierbar

$f(x)=|x|$ ist bei $0$ stetig und hat dort links die Steigung $-1$ , rechts $1$ . Ein Knick, ein Sprung, eine senkrechte Tangente oder starkes Oszillieren verhindern die Ableitung.

Bei stückweisen Funktionen müssen deshalb beide Ableitungsgrenzwerte übereinstimmen, nicht nur die Funktionswerte.

Rechenweg

f(x)=x^2

über den Differenzenquotienten ableiten

Struktur: Differenz von Quadraten und Grenzübergang

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{(x_0+\Delta x)^2-x_0^2}{\Delta x}$
Die Definition der Ableitung wird mit der gegebenen Quadratfunktion eingesetzt.

Schritt 1 von 4

Rechenweg

Tangente in

x_0

aufstellen

Struktur: Punkt und lokale Steigung in die Punkt-Steigungs-Form

$P=(x_0,f(x_0))$
Berührpunkt und Ableitungswert liefern die beiden notwendigen Tangentendaten.

Schritt 1 von 3

Die Tangente als lokale Näherung

Merke

Für kleine Änderungen ersetzt die Tangente die Funktion

f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x

Bei einer Kostenfunktion $C(q)$ sind das die Mehrkosten der nächsten Einheit. Einheit: Franken pro Stück.

Marginal heisst lokal. Über ein grosses Intervall weicht $C'(q_0)\Delta q$ von der echten Änderung ab.

Im Kurs stehen unter jeder Seite die Verständnischecks, und der Coach beantwortet Fragen zu dem, was du gerade liest. Hier ist nur die Seite selbst.