Leseprobe: Grundintegral oder Substitution wählen

Dieses Unterkapitel befasst sich mit der Entscheidung zwischen einem direkt ablesbaren Grundintegral und der Substitution. Es wendet die Linearität aus 1.3 an und steht neben 1.5, das für Produkte die zweite grosse Methode bereitstellt. Im Kurs ist die Methodenwahl der Schritt, an dem sich entscheidet, ob eine Integralaufgabe in drei Zeilen oder gar nicht gelingt.

Direkte Muster

Baukasten

Integrationsregeln

x^n \;\longrightarrow\; \tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C

Für $n\ne-1$ .

\tfrac{1}{x} \;\longrightarrow\; \ln|x|+C

Die Ausnahme zur Potenzregel.

e^x \;\longrightarrow\; e^x+C

Bleibt beim Aufleiten unverändert.

a^x \;\longrightarrow\; \tfrac{a^x}{\ln a}+C

Für $a>0$ und $a\ne1$ .

Substitution erkennen

Substitution ist der richtige Trigger, wenn eine innere Funktion zusammen mit ihrer Ableitung im Integranden vorkommt. Bei bestimmten Integralen gibt es dann zwei saubere Wege: Entweder nach der Rücksubstitution die alten Grenzen verwenden oder die Grenzen sofort mit $u=g(x)$ transformieren. Beides zugleich ist falsch.

Merke

Methodenwahl

Markiere eine mögliche innere Funktion und leite sie probeweise ab. Fehlt nur ein konstanter Faktor, ist Substitution passend. Fehlt ein variabler Faktor, erzwingt die Methode meist eher mehr Arbeit.

Rechenweg

\int 2xe^{x^2}\,dx

durch Substitution lösen

Struktur: Verkettung mit innerer Funktion und deren Ableitung

$u=x^2,\qquad du=2x\,dx$
Die innere Funktion und ihre Ableitung stehen beide im Integranden.

Schritt 1 von 4

Rechenweg

\int 3x^2e^{x^3}\,dx

durch Substitution lösen

Struktur: kubische innere Funktion mit passendem Vorfaktor

$u=x^3,\qquad du=3x^2\,dx$
Der Vorfaktor $3x^2$ ist genau die Ableitung der inneren Funktion.

Schritt 1 von 4

Im Kurs stehen unter jeder Seite die Verständnischecks, und der Coach beantwortet Fragen zu dem, was du gerade liest. Hier ist nur die Seite selbst.